SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CAO BẰNG

HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH LỚP 10
THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2014 - 2015



Môn: Toán



Câu
ý
Đáp án

I
(2,0 điểm)
1
Cho biểu thức

Rút gọn P.



Điều kiện:




Ta có










Vậy



2
Cho
. Chứng minh rằng




Ta có

Vì
và
nên




Ta có
. Do
, dấu “=” xảy ra khi
không thỏa mãn điều kiện nên ta có
. Suy ra

Vậy


II
(2,0 điểm)
 Giải hệ phương trình:







1
Phương trình tương đương:

Đặt
. Ta được hệ:









Với

, khi đó
là các nghiệm của phương trình:

. Suy ra
hoặc




Với

, khi đó
là các nghiệm của phương trình:

.
Suy ra
hoặc



2
Giải phương trình:




Phương trình tương đương với:






Đặt
, ta được phương trình





Với

Với
, phương trình vô nghiệm.



Vậy phương trình đã cho có các nghiệm



III
(2,0 điểm)
1
Trong mặt phẳng tọa độ
cho parabol (P) có phương trình
và đường thẳng (d) đi qua
và có hệ số góc k.
Chứng minh rằng với mọi giá trị của
đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
.





Đường thẳng (d) có phương trình:




Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

(1)



Vì phương trình (1) có
nên (1) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu. Do đó, (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B.


2
 Chứng minh
là tam giác vuông.



Gọi
lần lượt là hoành độ của A và B. Khi đó,
là các nghiệm của (1).
Theo định lí Viet, ta có:




Tọa độ các điểm A, B:

Ta có
nên






Ta có






Vì
nên tam giác OAB vuông tại O.


Chú ý: học sinh có thể làm theo cách sau:
Đường thẳng OA qua gốc O nên phương trình có dạng:
.
Vì điểm
thuộc đường thẳng này nên ta có
(vì
nên
)
Ta có phương trình đường thẳng OA:

Tương tự, ta có phương trình đường thẳng OB:

Tích hệ số góc của hai đường thẳng OA và OB là
. Do vậy hai đường thẳng OA, OB vuông góc với nhau hay tam giác OAB vuông tại O.

IV
(3,0 điểm)
1
 Cho nửa đường tròn đường kính
(R là số dương cho trước), gọi O là trung điểm của
. Tiếp tuyến với đường tròn tại một điểm P thuộc nửa đường tròn (P không trùng với
) cắt hai tiếp tuyến
của nửa đường tròn theo thứ tự tại các điểm
. Gọi K là giao điểm của
với
, H là giao điểm của ON và PB.
Chứng minh rằng AMPO là tứ giác nội tiếp và OHPK là hình chữ nhật.








Vì MA, MP là các tiếp tuyến với nửa đường tròn nên
, suy ra tứ giác AMPO nội tiếp đường tròn đường kính MO.



Vì
(tính chất 2 tiếp tuyến đi qua M) và
nên suy ra MO là đường trung trực của AP
.
Tương tự
.
Ta có
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Tứ giác OHPK có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.


2
Chứng minh:
. Xác định vị trí của P để
đạt giá trị nhỏ nhất.



Vì OHPK là hình chữ nhật nên
. Ta có tam giác MON vuông tại O, OP là đường cao nên

Nhưng
nên ta suy ra




Theo BĐT CÔSI ta có
(không đổi). Dấu “=” xảy ra khi
nên tổng
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
khi
.
Khi đó tứ giác
là hình chữ nhật. Mặt khác
nên
khi đó P là điểm chính giữa của nửa đường tròn.


3
 Xác định vị trí của các điểm M trên Ax và N trên By để chu vi hình thang