Giải toán chuyên
Câu 1
1.Cho

với

Hãy tính giá trị của biểu thức:
.
Ta có:






. Khi đó A = 4 - 2 + 8 = 10
2. Giải phương trình:


ĐK:

Phương trình


Đặt :
. Thay vào phương trình ta có:





+) Với
ta có:
phương trình này vô nghiệm.
+) Với
ta có:


Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm phương trình là



Câu II
Cho parabol (P):
và đường thẳng
, với m là tham số.
1. Tìm m để đường thẳng
tiếp xúc với parabol (P).
Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
(1)
Đường thẳng
tiếp xúc với parabol (P)
có nghiệm kép


Vậy
là 2 giá trị cần tìm
2. Xác định m để đường thẳng
cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ
. Khi đó hãy tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:



cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt
(1) có 2 nghiệm phân biệt có hoành độ




Khi đó, ta có
. Tương tự

và
=

;


Vì
là nghiệm của (1) nên theo Vi-ét



Theo bất đẳng thức Cô si ta có

Dấu “=” xảy ra

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2
Câu III.
Giải hệ phương trình:


ĐK:

Ta có (1)




+) Với
, ta có hệ:






+) Với
(*)

Ta có phương trình (*) vô nghiệm vì
.
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm:

Câu IV
Chứng minh rằng



Do MA, MB là tiếp tuyến nên
tại H,
.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông AOM ta có

(1)
Ta lại có


Từ (1) và (2) suy ra


2. Chứng minh rằng tứ giác OHCD là tứ giác nội tiếp
Ta có

Từ (1) và (3)
hay


, mà


tứ giác OHCD nội tiếp.

3. Chứng minh CK là đường phân giác của góc
.

Gọi N là giao điểm thứ hai của đường thẳng OM với đường tròn (O). Ta có tứ giác KCDN nội tiếp
mà tam giác ODN cân
(Tính chất góc ngoài của tam giác) (4)
Mặt khác, theo 2) tứ giác OHCD nội tiếp nên

( cùng bù góc
) (5)
Từ (4) và (5)
hay CK là phân giác của góc
.

Câu V
Tìm các số thực
thoả mãn phương trình:

(*)

ĐK:

Theo nguyên lý Đirichlet trong ba số
có ít nhất hai số cùng lớn hơn hoặc bằng 2 hay cùng nhỏ hơn hoặc bằng 2. Giả sử

hai số đó là


Ta có (*)









Vậy các số cần tìm là x = y = z = 4