VẬN DỤNG HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

TÓM TẮT KIẾN THỨC BÀI HỌC

1. Giới thiệu bài toán quy hoạch tuyến tính hai biến

Bài toán toán học tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức bậc nhất $F(x, y) = cx + dy$ (gọi là hàm mục tiêu) trên một tập hợp các điểm $(x, y)$ xác định bởi một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (gọi là hệ ràng buộc) được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính hai biến.

Tập hợp tất cả các điểm $(x, y)$ thỏa mãn hệ ràng buộc được gọi là miền chấp nhận được của bài toán.

2. Bài toán quy hoạch tuyến tính với miền chấp nhận được là miền đa giác

Ví dụ mẫu: Tìm giá trị lớn nhất của $F(x, y) = 2x + 3y$ trên miền đa giác xác định bởi hệ ràng buộc: Các đỉnh của tam giác này là $O(0;0)$, $A(4;0)$, $B(0;4)$. Ta tính giá trị tại các đỉnh:
$F(0,0) = 0$; $F(4,0) = 8$; $F(0,4) = 12$.
Vậy giá trị lớn nhất của $F(x,y)$ bằng $12$ tại $B(0;4)$.

3. Bài toán quy hoạch tuyến tính với miền chấp nhận được không là miền đa giác

Khi miền chấp nhận được là miền mở (không giới hạn), hàm mục tiêu có thể không tồn tại giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Ta cần khảo sát sự biến thiên bằng hình học hoặc đánh giá bất đẳng thức trực tiếp.

Ví dụ mẫu: Tìm giá trị nhỏ nhất của $F(x, y) = x + y$ với ràng buộc: $x \ge 0, y \ge 0, x + 2y \ge 4$. Miền chấp nhận được là miền không giới hạn nằm phía trên đường thẳng $x + 2y = 4$. Đỉnh thấp nhất của miền này là $A(4;0)$ và $B(0;2)$. Ta thấy $F(4,0)=4, F(0,2)=2$. Do miền mở kéo dài ra vô cực theo hướng dương nên hàm không có GTLN, nhưng có GTNN bằng $2$ tại $(0;2)$.

4. Các kĩ năng, kinh nghiệm giải toán thực tiễn

Để giải toán quy hoạch tuyến tính thực tế, học sinh cần thực hiện nghiêm ngặt theo các bước sau:

• Bước 1: Gọi ẩn số ($x, y$) ứng với các đại lượng cần tìm lượng tối ưu (Kèm điều kiện thực tế như $x, y \ge 0$, có thể nguyên).
• Bước 2: Lập hệ bất phương trình ràng buộc dựa trên các điều kiện giới hạn về vốn, vật liệu, thời gian lao động.
• Bước 3: Xác định biểu thức hàm mục tiêu $F(x, y)$ cần tối ưu hóa (Lợi nhuận cao nhất hoặc chi phí thấp nhất).
• Bước 4: Vẽ miền nghiệm của hệ ràng buộc trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, tìm tọa độ tất cả các đỉnh lồi.
• Bước 5: Thay tọa độ các đỉnh vào hàm mục tiêu, so sánh giá trị và kết luận phương án tối ưu thực tế.